在19世紀(jì)末，龐加萊與克萊因等數(shù)學(xué)家對自守函數(shù)的研究，將數(shù)學(xué)推向了新的高峰。自守函數(shù)作為復(fù)變函數(shù)中一類高度對稱性的特殊函數(shù)，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中應(yīng)用廣泛。限于篇幅，本文聚焦于自守函數(shù)理論的起源與龐加萊的杰出貢獻(xiàn)，而其續(xù)篇將主要介紹對其后數(shù)學(xué)的影響。數(shù)學(xué)大師龐加萊通過深入研究，以自守函數(shù)為樞紐，將代數(shù)、幾何和分析等領(lǐng)域巧妙融合，統(tǒng)一了原本迥然不同的數(shù)學(xué)分支，揭示了數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性與美感，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟了嶄新的篇章。
撰文 | 金威
在高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）、黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）等數(shù)學(xué)大家涌現(xiàn)的19世紀(jì)將要結(jié)束之時，數(shù)學(xué)領(lǐng)域迎來了它的又一次統(tǒng)一和革新，這就是龐加萊（Henri Poincaré, 1854-1912）和克萊因（Felix Klein, 1849-1925）等數(shù)學(xué)家對自守函數(shù)（automorphic function）
由定義可見，自守函數(shù)是一種高度對稱的復(fù)變函數(shù)。而要想更深入地理解其深刻意義，當(dāng)然不能僅僅從定義出發(fā)，而需要比較全面地了解它的“過去、現(xiàn)在和未來”。
在歷史上，自守函數(shù)理論的來源是多方面的：有分析學(xué)中的（1）橢圓積分和橢圓函數(shù)[主要研究者（下同）：歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）、高斯、阿貝爾（Niels Abel，1802-1829）、雅可比（Carl Jacobi，1804-1851）]；（2）常微分方程理論和單值化群[歐拉、高斯、富克斯（Lazarus Fuchs，1833-1902）]；和（3）復(fù)變函數(shù)論[柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789-1857）、黎曼、魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815-1897）、施瓦茲（Hermann Schwarz，1843-1921）]，兼及代數(shù)學(xué)中的（4）群論[阿貝爾、拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736-1813）、伽羅瓦（évariste Galois，1811-1832）、克萊因）]和幾何學(xué)中的（5）非歐幾何[高斯、鮑耶（János Bolya，1802 - 1860）、羅巴切夫斯基（Николай Иванович Лобачевский，1793-1856）]及其模型[貝爾特拉米（Eugenio Beltrami，1835-1900）、克萊因、龐加萊、劉維爾（Joseph Liouville，1809-1882）]。
而龐加萊和克萊因的工作不僅集前人之大成，而且一舉將數(shù)學(xué)中的分析、代數(shù)和幾何等幾大領(lǐng)域統(tǒng)一起來，開辟了自守函數(shù)這個位于交叉點上的新領(lǐng)域，并為之后的單值化定理做好了直接準(zhǔn)備。
因為篇幅所限，本文將側(cè)重于介紹龐加萊在自守函數(shù)相關(guān)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)，但必須指出，克萊因在本領(lǐng)域的工作也是豐富多彩和獨樹一幟的（可參考[1]）。另外因為筆者個人水平和精力所限，加之時移世易，本文必然掛一漏萬，請各位讀者不吝指正。
圖1 克萊因（左）、龐加萊（右）。圖源：網(wǎng)絡(luò)
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序曲：自守函數(shù)前史
首先，我們回顧一下在龐加萊的工作之前，數(shù)學(xué)中相關(guān)各領(lǐng)域的歷史狀況，以便了解自守函數(shù)為何能將這些領(lǐng)域統(tǒng)一起來。在此處，筆者盡力將當(dāng)時的相關(guān)背景做一些概括和提要，并將它們按照領(lǐng)域盡量分割開來。但讀者將看到，在數(shù)學(xué)這個整體而不是數(shù)學(xué)的各個“部分”之中，存在著幾條相互緊密交織的線索，它們只能大致在思維中再現(xiàn)，但我們絕不可能按照人物、時代或者領(lǐng)域?qū)⑦@幾條線索截然地分開。
1.1 自守函數(shù)的來源：分析方面
自守函數(shù)的第一個來源是分析學(xué)。19世紀(jì)，分析學(xué)繼續(xù)發(fā)展出多個領(lǐng)域，包括單復(fù)變函數(shù)、微分方程、微分幾何和變分法等，這些分析學(xué)科成為整個數(shù)學(xué)的核心部分。而自守函數(shù)理論與其中的單復(fù)變函數(shù)理論（包括其中的橢圓積分和橢圓函數(shù)理論）和微分方程理論的關(guān)系最為密切。其中，橢圓函數(shù)是自守函數(shù)的重要例子，而自守函數(shù)則是其非平凡推廣，其背后的舞臺則是復(fù)變函數(shù)理論，尤其是經(jīng)黎曼的幾何觀點發(fā)展后的復(fù)變函數(shù)論；常微分方程的單值群是自守函數(shù)不變性條件的自然來源之一；而非歐幾何及其等距變換群則刻畫了自守函數(shù)不變性條件的幾何本質(zhì)。
（1）橢圓函數(shù)及一些相關(guān)函數(shù)：
古典微積分理論中提出了以下問題：
（1）研究初等函數(shù)（包括有理函數(shù)）的不定積分，將其盡量表示為初等函數(shù)；
（2）如果無法表示為初等函數(shù)，就嘗試研究各種初等函數(shù)積分（不定積分和定積分）的相互關(guān)系和各自性質(zhì)。
橢圓函數(shù)理論引發(fā)的進(jìn)一步問題有：
（1）研究橢圓函數(shù)是否有更優(yōu)美的性質(zhì)？
（2）從更高的觀點解釋橢圓函數(shù)的雙周期性；
（3）進(jìn)一步研究雙周期函數(shù)的一般性質(zhì)；
（4）一般地給出雙周期函數(shù)的構(gòu)造。
的有理函數(shù)。此外，凱萊（Arthur Cayley，1821-1895）、布爾（George Boole，1815-1864）等從1840年開始，又用不變量觀點證明了阿貝爾研究橢圓函數(shù)時得到的一些結(jié)論。此時，橢圓函數(shù)雙周期性之下蘊藏的更深刻意義還遠(yuǎn)未被闡明，這個任務(wù)將由黎曼完成。
橢圓函數(shù)在19世紀(jì)又被戴德金（Richard Dedekind，1831-1916）等用于數(shù)論方面的研究。埃爾米特（Charles Hermite，1822-1901）、克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker，1823-1891）、布里奧斯奇（Francesco Brioschi，1824-1897）等人則在此基礎(chǔ)上，使用橢圓函數(shù)求解五次代數(shù)方程。克萊因在此問題上的貢獻(xiàn)尤為值得注意，他將橢圓函數(shù)、正二十面體、群論和微分方程熔于一爐，其研究堪稱珍品，見[6]。
所定義的基本區(qū)域更復(fù)雜的一類函數(shù)，是所謂的“三角形函數(shù)”[Triangle function，請勿與“三角函數(shù)”（trigonometric function）混淆]：黎曼和施瓦茲在研究（與超幾何方程相關(guān)的）常微分方程時，發(fā)現(xiàn)其每個特解()是從所在的上半復(fù)平面到平面的一個共形映射，其象集為一個以圓弧為邊的曲線三角形。使用復(fù)變函數(shù)中的反射原理，可以將其定義域擴(kuò)張到整張復(fù)平面，其構(gòu)造過程是黎曼映射定理的一個重要例子。而其反函數(shù)()的定義域可以用關(guān)于三角形邊的反射（及其復(fù)合）擴(kuò)張到半平面或圓。
圖2 三角形函數(shù)示意圖，左側(cè)對應(yīng)變量，右側(cè)對應(yīng)變量。圖源：參考文獻(xiàn)[14]
圖3 模函數(shù)所對應(yīng)的復(fù)平面劃分，每個色塊為一個“基本區(qū)域”。此圖也稱為戴德金鑲嵌（Dedekind tessellation），由戴德金在1877年發(fā)現(xiàn)。
例如，僅僅是高斯一人，就曾經(jīng)從三種不同的動機(jī)研究過橢圓函數(shù)：（1）算術(shù)-幾何均值；（2）整正定二次型理論；（3）對雙扭線的研究。
從三角函數(shù)、雙曲三角函數(shù)等簡單的單周期函數(shù)，到雙周期的橢圓函數(shù)，再到三角形函數(shù)、模函數(shù)等對稱性更為復(fù)雜的函數(shù)，都是自守函數(shù)的經(jīng)典例子。由此可見，即使僅僅在函數(shù)論意義上，自守函數(shù)的來源就已十分自然和豐富；另一方面，自守函數(shù)作為這些重要函數(shù)的自然而非平凡的推廣，必然是富有生命力的。
（2）復(fù)變函數(shù)論：
在微積分發(fā)展以后，復(fù)變函數(shù)理論首先起源于如下樸素的問題：
（1）如果在復(fù)數(shù)域上做微積分，會得到什么有趣的結(jié)論？換句話說，（單）復(fù)變量函數(shù)有什么引人注目的性質(zhì)？
（2）應(yīng)該如何（用怎樣的觀點和理論工具）研究復(fù)變量函數(shù)？
（3）建立起復(fù)變量函數(shù)的一般理論后，它能為我們提供什么新的視角和觀點？它們又有哪些具體應(yīng)用？
單復(fù)變函數(shù)理論有三大理論路線，它們都從不同的角度回應(yīng)了以上問題。這三條路線正是柯西的積分和函數(shù)論方法、魏爾斯特拉斯的冪級數(shù)方法和黎曼的幾何方法。其中，黎曼在復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)最值得注意，他以內(nèi)蘊和幾何化的觀點革新了復(fù)變函數(shù)理論：定義了多值解析函數(shù)的黎曼曲面并將其應(yīng)用到橢圓函數(shù)和橢圓積分理論中。（之后龐加萊以自己超人的數(shù)學(xué)能力和獨創(chuàng)性，逐漸借鑒并先后掌握了這三種方法，并將其應(yīng)用到自守函數(shù)和單值化定理的研究中。）
我們回到黎曼對橢圓函數(shù)理論的研究思路。首先，黎曼通過內(nèi)蘊方式（類似于黎曼幾何中的哲學(xué)）將復(fù)解析函數(shù)對應(yīng)到一個曲面，這個曲面由復(fù)平面的若干拷貝沿函數(shù)分支點的一些連線切開后粘合而成（即復(fù)平面的分支復(fù)疊），稱為這個函數(shù)的黎曼面。此時原本的“多值”函數(shù)就成為黎曼面上的單值函數(shù)。
黎曼還指出：一個亞純函數(shù)的形態(tài)在本質(zhì)上由其奇點決定。黎曼還研究了多連通區(qū)域的“連通數(shù)”及其與虧格的關(guān)系等，這是拓?fù)鋵W(xué)的早期起源之一。
另外黎曼在博士論文中還提出了“黎曼映射定理”，即復(fù)平面上兩個單連通開區(qū)域必然全純等價，它是單值化定理的一個特例。不過文中黎曼的證明用到了當(dāng)時尚未嚴(yán)格證明的狄里克萊原理，因此是不夠嚴(yán)格的。
（3）常微分方程
從18世紀(jì)開始到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家開始普遍使用常微分方程和偏微分方程研究數(shù)學(xué)物理現(xiàn)象。而對于純數(shù)學(xué)，有以下問題：
（1）盡量給出常微分方程的解析解；這些解有怎樣的性質(zhì)？
（2）常微分方程常常無法寫出解析解。在此情況下，應(yīng)當(dāng)怎樣研究常微分方程？
同時，布里奧（Charles Briot，1817-1882）和布凱（Jean-Claude Bouquet，1819-1885）則用奇點理論的觀點研究常微分方程。
在此之后，富克斯一般地研究了復(fù)數(shù)域上的（高次）常微分方程，并證明了一些定理，包括微分方程的解只會在系數(shù)函數(shù)的奇點處出現(xiàn)奇異性。但富克斯的研究是不完整的，其主要遺留問題在于：解在初始定義域上多次沿邊界反射延拓后，各區(qū)域在整體上是否有重合的部分（其局部情形已被富克斯解決）。
圖5 示意各區(qū)域在整體上重合的情況。圖源：參考文獻(xiàn)[10]，p17
此外，龐加萊還發(fā)展了常微分方程的定性理論（與他在自守函數(shù)與微分方程方面的工作，例如下文所述的第五篇長文有關(guān)）。
1.2 自守函數(shù)的來源：代數(shù)學(xué)
在代數(shù)領(lǐng)域，自守函數(shù)主要和群論關(guān)系密切。在歷史上，群論有三個主要來源：（1）數(shù)論中歐拉、高斯等對（同余）模算術(shù)的研究；（2）在高斯、魯菲尼（Paolo Ruffini，1756-1822）、拉格朗日、阿貝爾和伽羅瓦研究一般系數(shù)代數(shù)方程的根式解工作之后，群的觀點被建立起來，并開創(chuàng)了著名的伽羅瓦理論；（3）在幾何領(lǐng)域，克萊因基于對射影幾何的研究和受非歐幾何等幾何理論的啟發(fā)，在1872年提出埃爾朗根綱領(lǐng)，即“每種幾何學(xué)都是研究在一定群變換下不變的幾何量”，把幾何學(xué)和對稱性（群論）的觀點深刻地聯(lián)系在一起。隨后，克萊因研究了二十面體的對稱群與五次方程根式解之間的關(guān)系。另外，凱萊在1854年給出了群的抽象定義。
1.3 自守函數(shù)的來源：幾何學(xué)（非歐幾何）
非歐幾何起源于對歐幾里得《幾何原本》中的“平行公理”即第五公設(shè)的質(zhì)疑。第五公設(shè)的現(xiàn)代敘述形式為：“過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行”，這種形式源于波斯的哈亞姆（Omar Khayyam，1048-1131），他是詩人、哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，被譽為“波斯的李白”。千百年來數(shù)學(xué)家對這條公設(shè)（相對于其他公設(shè)的）的無矛盾性和獨立性爭論不休。
高斯、羅巴切夫斯基、鮑約幾乎同時發(fā)現(xiàn)了非歐幾何，這無疑是人類數(shù)學(xué)史甚至文明史中的巨大革命。它不僅打破了歐幾里得幾何學(xué)的時空觀，甚至在數(shù)學(xué)之外的領(lǐng)域，如在哲學(xué)上也產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。（關(guān)于這次革命的意義，可參考[16]。）
圖6 此圖中水平平面為克萊因和龐加萊模型所在的單位圓盤，對應(yīng)的測地線依次為黃色和紅色；上半球面對應(yīng)半球面模型，其測地線為藍(lán)色。圖源：wiki。
雖然貝爾特拉米、黎曼和劉維爾等人更早地得到了雙曲平面中的若干模型，但龐加萊卻更加敏銳地發(fā)揚了它的意義——主要是發(fā)現(xiàn)分式線性變換群能夠保持非歐度量不變，并在自守函數(shù)的構(gòu)造和研究中本質(zhì)性地用到了雙曲幾何（詳見本文第二部分），這使得非歐幾何進(jìn)一步進(jìn)入到主流數(shù)學(xué)當(dāng)中。
圖7 不同顏色表示不同領(lǐng)域：紅色—幾何；黃色—代數(shù)；藍(lán)色—拓?fù)?；藍(lán)灰色—方程；綠色—分析，下同。
上述談到的各個數(shù)學(xué)問題和領(lǐng)域，遍及分析（函數(shù)論和微分方程）、代數(shù)和幾何等數(shù)學(xué)分支，其大致圖景如圖7。從圖中可見，當(dāng)時的分析—代數(shù)—幾何相互聯(lián)系的“連通分支”還集中在歐氏幾何領(lǐng)域，非歐幾何則是相對孤立的。
而龐加萊和克萊因的工作則真正地將上述各個領(lǐng)域有機(jī)和有力地結(jié)合起來，從而淋漓盡致地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性。
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主題（融合統(tǒng)一）：龐加萊及其在自守函數(shù)上的工作
2.1 時代背景和龐加萊的直接動機(jī)
我們首先略微回顧一下19世紀(jì)幾個歐洲國家數(shù)學(xué)發(fā)展的大致背景。在工業(yè)革命后，英國在自然科學(xué)和技術(shù)方面一直較為領(lǐng)先，但因為其思想上的經(jīng)驗主義傳統(tǒng)和社會結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的保守傾向，英國人更傾向于將相對較成熟的數(shù)學(xué)理論應(yīng)用于科技領(lǐng)域。后來英國學(xué)術(shù)界覺察到了這種局限性，從而劍橋分析學(xué)派和之后的數(shù)學(xué)物理學(xué)派[格林（George Green，1793-1841）、斯托克斯（George Stokes，1819-1903）、麥克斯韋（Jame Maxwell，1831-1879）等）]應(yīng)運而生；同時也產(chǎn)生了凱萊這樣的大數(shù)學(xué)家，但在純粹數(shù)學(xué)方面仍相對比較落后。之后，因啟蒙運動和法國大革命，歐洲尤其是法國的社會面貌煥然一新，嶄新的科研和高等教育體制逐漸建立起來，法國逐漸成為世界數(shù)學(xué)中心[以泊松（Siméon-Denis Poisson，1781-1840）、柯西、劉維爾等人為首）]。但從十九世紀(jì)中葉起，法國數(shù)學(xué)被后來居上的德國數(shù)學(xué)所超越，原因在于社會環(huán)境、哲學(xué)思想以及普法戰(zhàn)爭所導(dǎo)致的德法爭霸等多重因素。19世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)，經(jīng)過狄里克萊（Lejeune Dirichlet，1805-1859）、黎曼等創(chuàng)建哥廷根學(xué)派，魏爾斯特拉斯、庫默爾（Ernst Kummer，1810-1893）、克羅內(nèi)克等創(chuàng)建柏林學(xué)派，以及克萊因在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)教育上承前啟后，迎來了它的輝煌時代。而當(dāng)時法國數(shù)學(xué)的函數(shù)論[埃爾米特、達(dá)布（Jean-Gaston Darboux，1842-1917）、若爾當(dāng)（Camille Jordan，1838-1922）等]視角則較為古典，直至十九世紀(jì)末，法國涌現(xiàn)出皮卡（émile Picard，1856-1941）、阿達(dá)馬（Jacques Hadamard，1865-1963）等數(shù)學(xué)家，加之龐加萊橫空出世，讓數(shù)學(xué)的各個分支在新的高度上獲得了前所未有的統(tǒng)一。借此，法國數(shù)學(xué)才又重回世界數(shù)學(xué)之巔。[3, 4]
龐加萊被譽為“數(shù)學(xué)家中的最后一個通才”和“20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一”，其貢獻(xiàn)涉及數(shù)學(xué)（分析、代數(shù)、幾何、拓?fù)?、代?shù)幾何、動力系統(tǒng)、數(shù)論）、物理學(xué)（電磁學(xué)、狹義相對論）、天體力學(xué)和科學(xué)哲學(xué)等眾多領(lǐng)域。
龐加萊是怎樣進(jìn)入自守函數(shù)這個領(lǐng)域的呢？
其直接動機(jī)是參加巴黎科學(xué)院舉辦的論文競賽。1879年，巴黎科學(xué)院征文比賽的題目是：“用某種重要方式改進(jìn)單變量常微分方程理論”。龐加萊恰于此年獲得博士學(xué)位，并在卡昂大學(xué)擔(dān)任講師，他當(dāng)時正在思考常微分方程的問題，因而參加了征文比賽（后獲得二等獎）。他的創(chuàng)建始于富克斯研究的局限部分，即后者的觀點主要是局部而不是全局的（見本文第一部分《序曲》），因此龐加萊逐漸將觀點從分析和方程擴(kuò)展到幾何視角，從而用更加全局的觀點看待微分方程的解，并逐漸將其作為一個獨立的數(shù)學(xué)對象加以研究，即在復(fù)平面的某些群作用下不變的函數(shù)。
龐加萊經(jīng)過了一系列的反復(fù)嘗試，取得了幾次階段性的突破。例如，在多年之后，他在其著作《科學(xué)與方法》中回憶在1880年6月的一次頓悟：
“在這時，我離開了當(dāng)時居住的卡昂，參加了礦業(yè)學(xué)校（écoles des Mines）主辦的地質(zhì)考察旅行。沿途的景致使我忘卻了我的數(shù)學(xué)工作。到達(dá)庫唐塞（Coutances）后，我登上公共馬車去某個地方。當(dāng)我的腳踩上踏板的一剎那，一種想法涌上我的心頭，即我通常定義富克斯函數(shù)的變換等價于非歐幾何學(xué)的變換，在我先前的思想中，似乎沒有任何東西為它鋪平道路。我沒有證實這一想法；我坐在公共馬車座位上，此時不可能有時間證實，而是繼續(xù)進(jìn)行已經(jīng)開始的談話，但是我感到它是完全確定的。返回卡昂，為了問心無愧起見，我抽空證實了這一結(jié)果?！?/em>[11, 13]
在此過程中，龐加萊也與其他數(shù)學(xué)家保持著溝通，先后與富克斯、克萊因等人進(jìn)行書信往來。最終，龐加萊終于將微分方程、富克斯函數(shù)及其構(gòu)造方式、非歐幾何（雙曲平面）及其變換群真正地聯(lián)系起來。
2.2龐加萊的綜述：五篇長文
從1882年開始，龐加萊和克萊因均總結(jié)了各自的工作。龐加萊在《數(shù)學(xué)評論》（Acta mathematica）、《法國科學(xué)院院刊》（Comptes rendus de l’Académie des Sciences）等期刊上共發(fā)表了至少三十篇相關(guān)主題的文章[9]。下面簡述一下其中在《數(shù)學(xué)學(xué)報》上發(fā)表的比較重要和有概述性質(zhì)的五篇長文，其發(fā)表時期在1882-1884年，篇幅在四十多頁至一百余頁不等；其中前四篇的英譯可參見[10]。
這五篇文章的大致內(nèi)容是：第一篇長文介紹雙曲幾何觀點，論述富克斯群和雙曲圓盤/平面在該群作用下基本域的關(guān)系；第二篇借助與橢圓函數(shù)理論的類比，給出了富克斯群作用下不變的自守函數(shù)（“富克斯函數(shù)”）并研究其相關(guān)性質(zhì)；第三篇將前兩篇長文的研究進(jìn)一步拓展到克萊因群上，即研究了克萊因群及其對應(yīng)的自守函數(shù)（“克萊因函數(shù)”）；第四篇和第五篇長文則主要研究上述的自守函數(shù)與微分方程的關(guān)系，并提出進(jìn)一步的問題，如自守函數(shù)的獨立性等。
2.2.1 《關(guān)于富克斯群的理論》
第一篇是Théorie des groupes fuchsiens，即《關(guān)于富克斯群的理論》。
對于復(fù)平面的共形變換群（莫比烏斯群）的離散子群，如果子群中的元素共同保持一個圓不變，那么這個圓就稱為此群的不變圓（通過共軛，可以將這個不變圓映為實軸）。龐加萊獨具只眼地發(fā)現(xiàn)：因為復(fù)共形變換群的實元素均保持雙曲平面的長度、角度和面積，因此只要存在不變圓，就可以用平面雙曲幾何的觀點研究該群的群作用（即此文），以及在群作用下不變的函數(shù)（主要在之后的第二篇長文中有所應(yīng)用）。從而首先激發(fā)了以下問題：
從幾何（度量模型）和代數(shù)（變換群）角度研究復(fù)平面/雙曲平面及其商空間，并將它們關(guān)聯(lián)起來。
為回答以上問題，在這篇文章中，龐加萊系統(tǒng)研究了雙曲平面等距變換群（以下簡稱“雙曲等距群”）的離散子群及其基本域（即在群作用下的“鑲嵌單元”），以及二者的相互關(guān)系：雙曲等距群的離散子群當(dāng)然可以決定雙曲平面在此群下的商空間，它是一個多邊形，再加上多邊形的邊由群元素作用給出的相互粘合關(guān)系；反過來，如果給定多邊形和粘合關(guān)系，并滿足一定兼容性條件，就存在對應(yīng)的離散子群，使得這個多邊形在粘合關(guān)系下的商空間就是雙曲平面在離散子群作用下的商空間，后者的對應(yīng)就是所謂的“龐加萊多邊形定理”。
圖8 雙曲平面的{3，14}鑲嵌，鑲嵌單元為三角形。
圖9 雙曲平面的八邊形籠目（octagon-kagomé）鑲嵌，鑲嵌單元為八邊形。
圖10：版畫家埃舍爾（1898-1972）的版畫《圓極限IV》（circle limit IV），又名《天堂和地獄》，及其對應(yīng)的雙曲平面{6，4}鑲嵌，鑲嵌單元為六邊形。
龐加萊將雙曲等距群的離散子群（或者等價地，存在一個不變圓域的復(fù)分式線性變換群的離散子群）稱為富克斯群。我們知道，因為非歐幾何的復(fù)雜性，雙曲平面的幾何及其鑲嵌與對稱群要比歐氏幾何的版本復(fù)雜得多（例如對歐氏平面上的鑲嵌，作為鑲嵌單元的形狀本質(zhì)上只有有限幾類，但雙曲平面的鑲嵌單元則有無限多類），所以需要介紹必要的基礎(chǔ)。為了這個目的，龐加萊根據(jù)需要，在文中自由地使用上半平面模型和圓盤模型。但在文中他并沒有引入更多的非歐幾何概念，例如其中弧長和面積的計算公式。
這篇文章首先引入了上半平面變換群的正常不連續(xù)（properly discontinuous）子群，并對其進(jìn)行了組合刻畫（使用了群表現(xiàn)，即生成元/關(guān)系的觀點），然后轉(zhuǎn)入研究基本域和基本多邊形的概念和分類，并研究了它在富克斯群作用下的行為和性質(zhì)，如被群作用將邊粘貼后的虧格。之后，龐加萊證明，對于滿足一定條件的多邊形和粘合映射，總存在對應(yīng)的富克斯群，使其基本域和粘合關(guān)系與之對應(yīng)，即“龐加萊多邊形定理”。這些理論都使用具體例子加以逐漸深化的說明。
在論文末尾，龐加萊對富克斯群做了推廣、大致分類和歷史注記。
不過，從今天的觀點看，在此文中龐加萊對其中某些定理的論證并不是完全嚴(yán)密的，例如富克斯群的存在性的證明后來被馬斯基特（Maskit，1971）所嚴(yán)格化，其主要創(chuàng)見在于使用更現(xiàn)代的（點集）拓?fù)鋵W(xué)理論，而不是龐加萊的手工（組合）方式去構(gòu)造證明。而其中用生成元和關(guān)系刻畫群的思想，隨后被克萊因及其學(xué)生戴克（Walther von Dyck，1856-1934）等人做了發(fā)揮，成為組合群論的起源。
2.2.2 《富克斯函數(shù)的研究》
第二篇Sur les fonctions fuchsiennes，即《富克斯函數(shù)的研究》
在理清了富克斯群及其基本域的相互關(guān)系后，龐加萊開始綜述在富克斯群作用下保持不變的函數(shù)。他將這類函數(shù)稱為富克斯函數(shù)。本文前兩節(jié)處理的核心問題是：
（1）給定富克斯群，是否存在在這個群作用下不變的自守函數(shù)？
（2）給定富克斯群，如何構(gòu)造對應(yīng)的自守函數(shù)？
在文章中，龐加萊雖然并未系統(tǒng)地引入雙曲幾何理論，但在很多關(guān)鍵部分本質(zhì)地用到了雙曲幾何。例如，在證明自守函數(shù)收斂性時，文中提供了兩種證明，其中第二種證明中本質(zhì)性地用到了雙曲平面的性質(zhì)，即面積元之和有限導(dǎo)致級數(shù)收斂。再如，論文中的一個引理（第1節(jié)引理5）實質(zhì)上是證明了實分式線性變換群作用在龐加萊圓盤模型上是等距的。
在此基礎(chǔ)上，龐加萊用函數(shù)論方法處理了一些自守函數(shù)的問題：
（1）在富克斯群的一個基本區(qū)域內(nèi)，零點和極點有什么性質(zhì)？
（2）給定富克斯群，有多少（代數(shù)意義上）“極大獨立”的自守函數(shù)？
（3）自守函數(shù)與二階常微分方程解的關(guān)系？
以上問題在橢圓函數(shù)理論中都有對應(yīng)的版本。
這個問題本質(zhì)上聯(lián)系著所謂的單值化問題，詳見本文續(xù)篇《龐加萊在自守函數(shù)上的工作對其后數(shù)學(xué)的影響》。
2.2.3 《關(guān)于克萊因群的論文》
第三篇Mémoire sur les groupes kleinéens，即《關(guān)于克萊因群的論文》
質(zhì)要比之前研究的富克斯群復(fù)雜得多（參見下面的兩張圖）。甚至直至今日，克萊因群的豐富性質(zhì)還是數(shù)學(xué)家們探索的對象。
圖11 克萊因在1881年給出的一個克萊因群的例子中的基本域，注意其中部分圓弧的邊相切。
圖12：一個肖特基（Schottky）克萊因群的極限集。圖源：弗里克和克萊因《自守函數(shù)講義》中圖145。
問題：應(yīng)當(dāng)如何研究克萊因群？
龐加萊研究克萊因群的方式是升維。雖然因為不存在不變圓導(dǎo)致一般的克萊因群不能看作雙曲等距
龐加萊對克萊因群的研究和分類，開后世之用克萊因群研究三維流形（見下圖）的先河。
圖13
他在此文中還引入了“極限集”等離散群理論中的重要概念?？巳R因群的極限集可以是處處不可微的?！胺中螏缀沃浮甭聽柌悸逄兀?924-2010）曾指出，龐加萊對克萊因群的研究給出了分形的一個重要而自然的例子。（注：在后來數(shù)學(xué)家的著作[15]中，利用“等長圓”（isometric circle）觀點可以更加統(tǒng)一地在復(fù)平面上處理富克斯群和克萊因群。）
2.2.4 《關(guān)于線性方程的群》
在第四篇長文Sur les groupes des équations linéaires，即《關(guān)于線性方程的群》中，龐加萊主要討論以下問題：
（1）給定常微分方程，求其對應(yīng)的單值化群（其含義參見本文第一部分的“常微分方程”章節(jié)的介紹和下文）；
（2）對于給定的（帶有輔助參數(shù)的）二階常微分方程，確定其單值化群是否是富克斯群。
接下來，龐加萊先后用拓?fù)浜蛶缀?組合的觀點對此進(jìn)行研究。這些研究的重點都是圍繞著他提出的參數(shù)化問題：
如果兩個復(fù)變量, 以代數(shù)方程聯(lián)系著，那么能不能找到另一個復(fù)變量，使得和都可以表示成的（單值全純）函數(shù)？
這個問題龐加萊在第二篇長文中提到過，只不過在此處的上下文中，和分別對應(yīng)常微分方程的復(fù)變量和它的解（即原論文中所謂的“積分”）。幾何上的具體研究方法仍然是從多邊形出發(fā)的組合方法，龐加萊使用的例子是，首先回顧高斯時代的三個奇點的情形（超幾何函數(shù)），之后轉(zhuǎn)向?qū)λ膫€奇點情形的分析，這些例子至今仍為經(jīng)典。而拓?fù)鋵W(xué)的方法則是所謂的“連續(xù)性方法”（論文第8節(jié)），從本質(zhì)上來講，它需要之后的點集拓?fù)鋵W(xué)中“開區(qū)域”和“維數(shù)”的不變性的理論——它們于20世紀(jì)10年代初由布勞威爾（L. E. J. Brouwer，1881-1966）所建立，因此在龐加萊的時代也必然是不嚴(yán)格的，而且在使用過程中遇到了本質(zhì)性的困難。
龐加萊在此文中還多少碰觸到了泰希米勒（Oswald Teichmüller，1913-1943）空間（作為“富克斯群構(gòu)成的空間”）和映射類群的概念（論文第13節(jié)），盡管他當(dāng)時并沒有像后來的數(shù)學(xué)家那樣對它們進(jìn)行深入而更加獨立的研究。除此之外，對現(xiàn)代的研究者而言，這篇論文中的單值化問題也很能激發(fā)他們的興趣。
2.2.5 《關(guān)于克萊因群的論文》
第五篇Mémoire sur les fonctions zétafuchsiennes，即《關(guān)于克萊因群的論文》。
在這篇文章中，龐加萊主要研究代數(shù)系數(shù)常微分方程、其單值解及其級數(shù)展開與θ-富克斯函數(shù)的關(guān)系。首先他對代數(shù)系數(shù)常微分方程及其奇點進(jìn)行了分類，接下來研究了常微分方程解的級數(shù)展開。
（3）在比較簡單的情形，即所謂“第一類富克斯群”的情形下，任意富克斯函數(shù)可以表示成一個級數(shù)的級數(shù)與一個θ-富克斯函數(shù)的商。[“第一類富克斯群”的原定義是，對富克斯群基本域的每個邊界頂點對應(yīng)的拋物變換，即所謂“臨界替換”（substitutions critiques），對應(yīng)的“乘數(shù)方程”（l’ équation aux multiplicateurs）的所有根都是單位復(fù)數(shù)，這等價于該富克斯系統(tǒng)對應(yīng)的代數(shù)系數(shù)線性方程的每個奇點，其行列式方程（équations déterminantes）對應(yīng)的根都是實數(shù)。]龐加萊還研究了更復(fù)雜的情況，即不是第一類富克斯群的情況。其中主要用了級數(shù)展開和經(jīng)典的分析方法，也使用了一些雙曲幾何的觀點（例如在證明級數(shù)的收斂性時）。
關(guān)于常微分方程，第四篇和第五篇長文的主要貢獻(xiàn)是：
（1）證明代數(shù)系數(shù)線性常微分方程都可以用富克斯函數(shù)和θ-富克斯函數(shù)積分求解，它們都是單值的；
龐加萊的這五篇長文在整體圖景下的對應(yīng)的大致位置可參考圖13。可以看出，此時的整體圖景與克萊因、龐加萊研究自守函數(shù)領(lǐng)域之前（參見本文第一部分《序曲》末尾）已有了很大差別。
3
龐加萊工作的突破之處
接下來，讓我們從紛繁復(fù)雜、令人眼花繚亂的重重細(xì)節(jié)之中再次收回目光，看一下克萊因?qū)嫾尤R上述幾篇文章貢獻(xiàn)的總結(jié)。
根據(jù)克萊因的看法[1]，龐加萊在自守函數(shù)相關(guān)領(lǐng)域的貢獻(xiàn)主要有以下三個特點：（1）（利用一般的富克斯群）“勇敢地”構(gòu)造了最一般的基本域，而克萊因本人則受到了具體例子（例如p=3時用十四邊形）和（用反演生成基本域的）具體方法的束縛；（2）龐加萊給出了自守函數(shù)的解析構(gòu)造，即所謂龐加萊級數(shù)（或θ-富克斯函數(shù)）；（3）認(rèn)識到這些新函數(shù)在單值化上的力量。
參考克萊因的以上意見，如果從更為宏觀的角度看，龐加萊這些工作的突破之處至少有以下幾個方面：
（1）提出自守函數(shù)作為橢圓函數(shù)、模函數(shù)和三角形函數(shù)的推廣并給出了具體構(gòu)造；
（2）富有創(chuàng)造力地在此課題中引入非歐幾何觀點，從而揭示了非歐幾何（尤其是雙曲幾何）和單復(fù)變函數(shù)理論、微分方程的本質(zhì)聯(lián)系；
（3）將自守函數(shù)用于研究常微分方程理論（而相關(guān)的研究又為龐加萊之后關(guān)于常微分方程定性理論的研究提供了動機(jī)）；
（4）從上述研究中提出單值化問題，開啟之后的單值化定理研究之序幕。
此處有一則有趣的軼事：因為克萊因曾經(jīng)考慮過所謂的“富克斯群”，但富克斯本人卻并沒有考慮過它，因此克萊因?qū)嫾尤R表達(dá)了對這種命名方式的不滿。作為回應(yīng)，龐加萊把克萊因本人并未考慮過的一類函數(shù)稱為克萊因函數(shù)。
4
龐加萊的創(chuàng)造過程與數(shù)學(xué)探索法
除了具體研究內(nèi)容方面，在研究方法論和數(shù)學(xué)探索法上，龐加萊的研究還有如下特點，值得我們格外關(guān)注：
（1）在研究一般問題時，總是從具體的例子出發(fā)，然后通過不斷深化研究，逐漸導(dǎo)向比較普遍的原理，而且在深化過程中仍然緊緊地抓住這些具體例子。
（2）用幾何化的思想看待數(shù)學(xué)問題（包括分析領(lǐng)域的問題），在這個意義上，龐加萊可以看作自牛頓、黎曼以來的幾何化傳統(tǒng)的繼承人。
（3）注重類比思維，并以此挖掘聯(lián)系，例如將橢圓函數(shù)理論中由θ函數(shù)構(gòu)造所求函數(shù)的方式，類比到自守函數(shù)領(lǐng)域；再將非歐幾何中的變換與歐氏幾何中的變換相類比；最終再建立自守函數(shù)的不變性與非歐幾何中的變換群的聯(lián)系，見圖15。
（4）不因追求邏輯的完備性而犧牲原創(chuàng)性，其論文有的地方甚至不乏邏輯粗糙和不完備之處，但無損于其總體上的內(nèi)在價值和驚人的啟發(fā)性。
（5）盡力獨立創(chuàng)作，例如在完全熟知黎曼的方法之前就自己發(fā)展出了類似的方法，這一點和克萊因形成了有趣的對比，后者十分熟悉文獻(xiàn)、更側(cè)重于博覽群書，從總結(jié)和綜合其他數(shù)學(xué)家的工作出發(fā)進(jìn)行創(chuàng)造。
圖15
關(guān)于龐加萊對創(chuàng)造過程的敘述，《返樸》公眾號上還登載過蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家龐特里亞金的文章《數(shù)學(xué)家的天賦體現(xiàn)在對形勢的預(yù)判》，其中的邏輯和觀點很值得我們參考。
最后，讓我們以龐加萊的一段自述作為本節(jié)的結(jié)尾：
“我曾用了十五天時間力圖證明，不可能存在任何類似于我后來稱之為富克斯函數(shù)的函數(shù)。我當(dāng)時一無所知；我每天獨自一人坐在我的辦公桌前，待一兩個小時，嘗試了大量的組合，什么結(jié)果也沒有得到。一天夜晚，我一反平日的習(xí)慣，飲用了咖啡，久久不能入睡。各種想法紛至沓來；我感到它們相互沖突，直到成對地聯(lián)結(jié)起來，也就是說，形成了穩(wěn)定的組合。到第二天早晨，我已確立了一類富克斯函數(shù)的存在，它們來源于超幾何級數(shù)；我只是必須寫出結(jié)果，僅花費了幾個小時。”
（在6月的馬車之旅后）“然后，我把注意力轉(zhuǎn)向一些算術(shù)問題的研究，表面看來沒有取得許多成果，也沒有想到它們與我以前的研究有什么關(guān)聯(lián)。我為我的失敗而掃興，于是前往海濱消磨幾天時間，想一些其他事情。一天早晨，當(dāng)我正在懸崖旁散步時，一種想法浮現(xiàn)在我的心頭，即不定三元二次型的算術(shù)變換等價于非歐幾何學(xué)的變換，（這種想法）正好具有同樣的簡潔（brevity）、突然（suddenness）和即時確定（immediate certainty）的特征……”[11, 13]
由此可見，即使龐加萊這樣的大數(shù)學(xué)家都不乏錯誤的嘗試（“花費兩周證明富克斯函數(shù)不存在”）和整日思考、卻因未有成果而頗感受挫的經(jīng)歷，那么我們廣大數(shù)學(xué)愛好者和數(shù)學(xué)工作者還有什么可畏懼的呢！
那么龐加萊的這些工作對之后的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了什么影響呢？且聽下回分解。
致謝：本文感謝劉辛味編輯的支持鼓勵。在撰寫過程中，作者得到了北京大學(xué)北京國際數(shù)學(xué)研究中心劉毅教授、清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心林劍鋒副教授的大力幫助，特此致謝。
參考文獻(xiàn)
數(shù)學(xué)史：
[1] 克萊因, 19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展史（第一卷）
[2] 莫里斯·克萊因, 古今數(shù)學(xué)思想（第三卷）
[3] 張生春，鄧明立, 十九世紀(jì)法國高等教育改革的啟示——兼談法國數(shù)學(xué)百年興衰
[4] 李文林, 數(shù)學(xué)的進(jìn)化：東西方數(shù)學(xué)史比較研究, 科學(xué)出版社
單復(fù)變函數(shù)理論：
[5]李培廉譯，黎曼文集，高等教育出版社
[6] F. Klein, Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree
[7] Elias M. Stein, Rami Shakarchi, Complex Analysis（有中文譯本）
[8] Lars V. Ahlfors, Complex Analysis （有中文譯本）
龐加萊的原著及相關(guān)綜述：
[9] 龐加萊作品集: Oeuvres de Henri Poincaré
[10] J. Stillwell, Henri Poincare, Papers on Fuchsian functions
[11] Jeremy Gray, Henri Poincare: A Scientific Biography
[12] G. D. Birkhoff, The Work of Poincaré on Automorphic Functions
[13] Henri Poincare, Science and Method（中譯本：科學(xué)與方法，李醒民譯，商務(wù)印書館）
自守函數(shù)理論：
[14] Joseph Lehner, Discontinuous Groups and Automorphic Functions
[15] Lester R. Ford, Automorphic Functions
非歐幾何的起源與意義：
[16] 齊民友, 數(shù)學(xué)與文化, 大連理工大學(xué)出版社
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