2023年10月，兩名數(shù)學(xué)家 Britta Sp?th 和 Marc Cabanes 宣布證明了群論中著名的 McKay 猜想，隨后他們于2024年在預(yù)印本網(wǎng)站 arXiv上公開了論文，目前尚等待審核發(fā)表。自從1971年首次提出以來，McKay猜想吸引了眾多研究者。這個(gè)神奇的命題將群的表示與其子群的表示聯(lián)系起來，某種意義上建立了“整體”與“局部”的對(duì)應(yīng)。猜想的最終證明并不只是偶然的靈光一閃，而是幾代人的不懈努力促成了這一結(jié)果。本文將試圖解釋這項(xiàng)跨越數(shù)十年的壯舉。
撰文| 張和持
遇見
2003年，德國卡塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)研究生 Britta Sp?th 與 McKay 猜想相遇了。與哥德巴赫猜想這樣著名且易于表述的難題不同，McKay 猜想的敘述并沒有簡單到大多數(shù)人都能看懂，它是群表示論中的一個(gè)著名問題，需要用抽象代數(shù)術(shù)語才能準(zhǔn)確表述；但幾十年來相關(guān)領(lǐng)域一直在活躍地發(fā)展，并沒有像哥德巴赫猜想那樣讓人望而卻步。所以 Sp?th 并沒有像后來證明了 Fermat 大定理的 Andrew Wiles (1953-) 那樣將年少的夢想藏在心里；相反，她只是希望在這個(gè)領(lǐng)域得到一些小成果以完成自己的博士論文。
2007年，她順利完成了學(xué)業(yè)。但此時(shí)的 Sp?th 已經(jīng)深深為 McKay 猜想著迷，她投入地鉆研群表示論，尋找所有可能用到的技巧?；蛟S McKay 猜想就是為 Sp?th 量身定制的：早在高中時(shí)期，Sp?th 就經(jīng)常持續(xù)幾周思考同一個(gè)問題，這種沉穩(wěn)和耐心正是群論這樣高度技巧性的學(xué)科所必需的。于是畢業(yè)之后，她決定繼續(xù)研究 McKay 猜想。
2010年，Sp?th 前往法國巴黎城市大學(xué)工作。在那里她結(jié)識(shí)了同樣專攻群表示論的 Marc Cabanes，Sp?th 對(duì) McKay 猜想的熱情感染了 Cabanes，他們開始討論研究，然后約會(huì)交往，最后結(jié)婚生子。美好的生活并沒有撲滅他們對(duì)數(shù)學(xué)的熱情，一直到今天的十多年間，他們不斷產(chǎn)出，最終在2024年貢獻(xiàn)了 McKay 猜想最終的證明成果。
為了解釋這個(gè)美妙的猜想，我們需要先介紹群表示論。
群與群表示論
群論是數(shù)學(xué)中研究對(duì)稱性的分支。日常生活中我們會(huì)遇到很多對(duì)稱的圖形，比如圓形、正三角形、正方形、正五邊形，等等。以正三角形為例，正三角形有兩種對(duì)稱，分別是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱和翻轉(zhuǎn)對(duì)稱。旋轉(zhuǎn)對(duì)稱是指圖形在旋轉(zhuǎn)了一定角度之后仍與自己重合；而翻轉(zhuǎn)對(duì)稱是指圖形沿某直線翻轉(zhuǎn)之后仍與自己重合。對(duì)正三角形來說，我們可以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 或者 ， 并且沿任何邊的中垂線翻轉(zhuǎn)。
正三角形的對(duì)稱
這些變換并不是孤立的，我們可以把多個(gè)變換組合起來，比如先旋轉(zhuǎn) 120°，再沿某中垂線翻轉(zhuǎn)，或者交換一下順序，這樣就可以得到另一個(gè)變換（比如說先旋轉(zhuǎn)120°再左右翻轉(zhuǎn)，等同于沿傾斜角為30°的一條直線翻轉(zhuǎn)，這里我們將三角形中心放置在原點(diǎn)，一條邊平行于x軸）。
變換的組合
乍一看似乎正三角形有無窮種對(duì)稱，因?yàn)橹灰D(zhuǎn)角是 120°的倍數(shù)就能與自己重合，不過旋轉(zhuǎn)360° 和旋轉(zhuǎn)0° 的效果是完全相同的。所以我們只需要考慮120°， 這三個(gè)角度。注意，旋轉(zhuǎn)0° 或者說360° 并不會(huì)對(duì)圖形進(jìn)行任何操作，但是我們?nèi)匀话阉?dāng)成是一個(gè)變換。這類似于在自然數(shù)中加入0 。
考慮以上所有三角形的變換，我們就得到了一個(gè)集合
- 能進(jìn)行某種二元運(yùn)算（變換的組合），并且運(yùn)算的結(jié)果仍然是集合中的元素（變換的組合仍然是變換），這種運(yùn)算一般用乘法書寫；
- 有一個(gè)元，它跟任何元的組合都不會(huì)改變別的元（旋轉(zhuǎn)0°，或者說恒同變換），稱為單位元；
- 運(yùn)算不一定滿足交換律，但滿足結(jié)合律（變換組合的先后順序很重要，但是對(duì)同一個(gè)式子不存在某一部分的組合更優(yōu)先）；
- 每一個(gè)元都有一個(gè)二元運(yùn)算的逆元（每個(gè)變換都有一個(gè)逆變換，比如旋轉(zhuǎn)120°的逆是旋轉(zhuǎn) 240°，左右翻轉(zhuǎn)的逆還是左右翻轉(zhuǎn)）。
通過上面的提煉，我們將注意力從對(duì)稱圖形轉(zhuǎn)到了圖形的對(duì)稱群。這種抽象的群論來自于19世紀(jì)初 évariste Galois (1811-1832) 和 Niels Henrik Abel (1802-1829) 兩位天才數(shù)學(xué)家對(duì)五次方程的研究，他們注意到代數(shù)方程的根式可解性依賴于根的對(duì)稱性，所以引入了群。群論專注于群的普遍結(jié)構(gòu)，研究它們有哪些子群。但是這終歸是抽象的，如果只給出一個(gè)群，我們并不能知道它描述的是什么圖形的對(duì)稱性。不過有一種方法可以讓抽象的群論變得具體，這就是群表示論。
在考慮三角形的對(duì)稱群時(shí)，細(xì)心的讀者可能就已經(jīng)想到，為什么不用矩陣來刻畫旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)呢？比如旋轉(zhuǎn)120° 對(duì)應(yīng)的矩陣是
左右翻轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的矩陣是
群表示論不是 Galois 發(fā)明的，雖然今天數(shù)學(xué)中有一個(gè)重要的領(lǐng)域叫作 Galois 表示，研究 Galois 群的復(fù)數(shù)或者p進(jìn)表示論，但是矩陣和向量空間的概念是James Joseph Sylvester（1814-1897）和 Arthur Cayley（1821-1895）等人在19世紀(jì)中葉提出的，這時(shí) Galois 已經(jīng)去世將近二十年了。線性代數(shù)的先驅(qū)們對(duì)群論也不甚了解，他們主要關(guān)心的是線性映射或者二次型的一般理論。群表示論的誕生要?dú)w功于19末的數(shù)學(xué)巨匠 Ferdinand Georg Frobenius（1847-1917），他創(chuàng)造性地提出了特征標(biāo)理論——到今天為止都是群論的基本工具。等介紹完特征標(biāo)理論，我們就有足夠多的數(shù)學(xué)語言來敘述 McKay 猜想了。
群的行列式與特征標(biāo)理論
Frobenius 畢業(yè)于德國著名的柏林大學(xué)，師從大數(shù)學(xué)家 Karl Weierstrass (1815-1897）。Weierstrass 是現(xiàn)代分析學(xué)的奠基人，今天我們使用的嚴(yán)格微積分就出自他的工作，在他的指導(dǎo)下 Frobenius 成為了函數(shù)論的專家，年紀(jì)輕輕就在橢圓函數(shù)和線性代數(shù)兩個(gè)領(lǐng)域取得了不俗的成績，后來當(dāng)選普魯士科學(xué)院院士。Weierstrass 一生育人無數(shù)，僅有記錄的博士生就有47人，連后來著名的物理學(xué)家 Max Planck (1858-1947) 都曾上過他的數(shù)學(xué)課，而 Frobenius 則被他評(píng)價(jià)為自己最優(yōu)秀的學(xué)生之一。在專注于函數(shù)論多年后， Frobenius 已人到中年，他深感 函數(shù)理論中那些“如迷宮一般的公式”會(huì)導(dǎo)致自己“數(shù)學(xué)想象力消逝”。他開始重新審視自己的內(nèi)心，想要找到活力的源泉，于是他把目光轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)中最原始又不加修飾的分支——數(shù)論。早在學(xué)生時(shí)代，F(xiàn)robenius 就深受 Ernst Eduard Kummer (1810-1893) 和 Leopold Kronecker (1823-1891) 等數(shù)論大師的影響，19 世紀(jì)中葉的這一代德國數(shù)論學(xué)家振興了 Galois 的域擴(kuò)張理論，并開創(chuàng)了代數(shù)數(shù)論這一嶄新的學(xué)科， Kummer 和 Kronecker 就是其中的佼佼者。Kummer 揭示了代數(shù)結(jié)構(gòu)與 Fermat 大定理的聯(lián)系，是代數(shù)數(shù)域研究的開創(chuàng)者；Kronecker 則用橢圓函數(shù)等超越方法構(gòu)造代數(shù)方程的解，這成為了半個(gè)世紀(jì)后類域論的序曲。Frobenius 從數(shù)論中找到的活力源泉便是與 Galois 理論息息相關(guān)的（有限）群論。
Frobenius 在數(shù)學(xué)界素有“論述清晰易懂”的美名，轉(zhuǎn)戰(zhàn)抽象代數(shù)后，他也很快在新天地站穩(wěn)了腳跟。當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)正處于從古典向現(xiàn)代轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵時(shí)期。古典數(shù)學(xué)重視具體計(jì)算與實(shí)例，在20世紀(jì)之前，根本就不存在單獨(dú)的抽象代數(shù)這門學(xué)科，研究者們往往需要從繁雜的計(jì)算中領(lǐng)會(huì)核心思想。Frobenius 的工作則會(huì)盡可能地去證明普適的結(jié)論，例如第一次完整證明了 Sylow 定理。
有不同的矩陣，但是這樣產(chǎn)生的不同矩陣并不會(huì)有本質(zhì)的區(qū)別，所以我們認(rèn)為這種情況下兩個(gè)表示是同構(gòu)的。
不得不指出的是，本文中使用的語言是20世紀(jì)之后改進(jìn)的，F(xiàn)robenius 的原始論文并沒有用矩陣來定義特征標(biāo)，而是用一種更直接的定義。但由于特征標(biāo)唯一決定了表示，所以兩種論述并沒有本質(zhì)區(qū)別，而現(xiàn)代的語言在邏輯上要更加自然一些。特征標(biāo)并不僅僅是把表示論簡化了，如果沒有它，就沒有20世紀(jì)的群論。要想明白特征標(biāo)理論的強(qiáng)大功效，首先我們要看看如何對(duì)表示進(jìn)行“計(jì)數(shù)”。
如此美妙的結(jié)構(gòu)讓 Frobenius 流連忘返。他的后半生一直致力于完善這套理論，并與他的學(xué)生 Issai Schur (1875-1941) 一同把群論帶向了20世紀(jì)。如今的群論學(xué)家在面對(duì)一個(gè)群時(shí)，首先就會(huì)把它的特征標(biāo)寫出來。
現(xiàn)在我們可以來說說到底 McKay 猜想是什么了。
McKay猜想與群的分類
McKay 猜想可以看作群論中的“局部-整體對(duì)應(yīng)”。在代數(shù)幾何與數(shù)論中，常常把與素?cái)?shù)或素理想有關(guān)的結(jié)構(gòu)看作是局部對(duì)象，數(shù)學(xué)家們會(huì)試圖用這些局部對(duì)象來理解整體對(duì)象，這在局部 Langlands 綱領(lǐng)等領(lǐng)域中發(fā)揮著巨大的作用；而 McKay 猜想恰好符合這一理念：局部不變量等于整體不變量。
不過這只是一個(gè)猜想，雖然有大量例子佐證，但是數(shù)學(xué)定理是不能用有限歸納法得到的。幾十年來，數(shù)學(xué)家們一直在尋找證明。與其說在尋找證明，不如說數(shù)學(xué)家們想要理解這種神奇對(duì)偶背后的原理。正如 Frobenius 通過特征標(biāo)來理解群的行列式一樣，美妙定理背后的理論更令數(shù)學(xué)家們神往。
此時(shí)我們不得不提到20世紀(jì)群論研究的一大趨勢，那就是對(duì)群的分類，準(zhǔn)確來說，是對(duì)有限單群的分類。單群是指這個(gè)群除了1階群和自己以外，沒有別的正規(guī)子群。任何一般的有限群，其性質(zhì)某種意義上都反映在與其相關(guān)的單群上，所以如果能搞清楚一共有哪些有限單群，就能將群論問題放到具體的幾類例子中研究。這是一項(xiàng)巨大的工程，很多人在了解到其復(fù)雜程度之后都會(huì)開始懷疑數(shù)學(xué)的簡潔性：自從1972年 Daniel Gorenstein（1923-1992）提出這項(xiàng)驚人的計(jì)劃以來，數(shù)學(xué)家們寫了上萬頁的論文，直到2004才正式完工。即便是目前尚未完成的簡化版本，預(yù)計(jì)也需要約5000頁篇幅。但是他們得到的結(jié)論卻非常簡潔，除了26個(gè)特殊情況（稱為零散群）之外，有限單群只有以下四種：
前兩種群的定義都非常初等，善用搜索引擎的讀者可以花五分鐘看懂它們的定義，這并不是本文的重點(diǎn)。后文中我們將介紹 Lie 型群。現(xiàn)在我們更關(guān)心的是分類定理對(duì) McKay 猜想的影響。
2007 年，三位數(shù)學(xué)家 Martin Isaacs，Gunter Malle 以及 Gabriel Navarro 提出了“歸納 McKay 條件”，這是一個(gè)稍微改動(dòng)版本的 McKay 猜想。他們證明，只要對(duì)所有有限單群成立“歸納 McKay 條件”，就可以推出 McKay 猜想。這意味著數(shù)學(xué)家們只需要利用有限單群分類定理，對(duì)四種單群及26個(gè)零散群仔細(xì)研究。這之后的十多年里，包括 Sp?th 和 Cabanes 在內(nèi)的數(shù)學(xué)家們發(fā)表了多篇論文，最終在 2024 年正式完工，為長達(dá)半個(gè)世紀(jì)的 McKay 猜想研究畫下句號(hào)。
整個(gè)過程中最困難，同時(shí)又最激動(dòng)人心的部分，就是 Lie 型單群。
Lie群和Lie型群
有一定物理基礎(chǔ)的讀者可能會(huì)聽說過 Lie 群，這是一種具有光滑幾何結(jié)構(gòu)的群。比如實(shí)數(shù)加法群
群顯然是有限群，不可能具有光滑結(jié)構(gòu)，所以要和 Lie 群區(qū)分開來。但是 Lie 型群的理論從某種意義上又源自 Lie 群，除了代數(shù)以外，還需要幾何的幫助。
可以肯定地說，挪威數(shù)學(xué)家 Sophus Lie（1842-1899）的工作與表示論完全無關(guān)。他研究這些群的動(dòng)機(jī)來自分析：既然代數(shù)方程的求解取決于 Galois 群這樣的有限群，那能否找到一些連續(xù)群來描述微分方程呢？不過即便他用德語寫作，當(dāng)時(shí)的德國人也并不買他的賬。Weierstrass 認(rèn)為 Lie 的理論不夠嚴(yán)謹(jǐn)，需要推翻重來；Frobenius 更是評(píng)價(jià) Lie 的理論用來解微分方程是在“繞遠(yuǎn)路”。信仰直覺主義的法國人卻對(duì) Lie 推崇有加，Henri Poincaré（1854-1912）甚至發(fā)出感嘆“任何數(shù)學(xué)都是關(guān)于群的故事”。后來 Lie 理論的發(fā)展壯大也離不開直覺與應(yīng)用，從20世紀(jì)20年代開始，量子力學(xué)的興起讓物理學(xué)家把注意力集中在了對(duì)稱性與群論，數(shù)學(xué)家 Hermann Weyl（1885-1955） 和物理學(xué)家 Eugene Wigner（1902-1995）發(fā)現(xiàn) Lie 群的表示可以用來描述自旋等物理量，Weyl 更是系統(tǒng)性整理了幾何中的群論內(nèi)容，就是他首先把這些“連續(xù)”的群稱為 Lie 群。Frobenius 一生都在抗拒數(shù)學(xué)被應(yīng)用污染而失去純粹性，但他的表示論卻最終與他討厭的 Lie 理論合并在一起被廣泛應(yīng)用到理論物理中，以至于今天物理系學(xué)生學(xué)到的第一個(gè)群可能就是 Lie 群SU(2) 。這不得不讓人感嘆：歷史的潮流是不會(huì)因個(gè)人喜好而改變的。
與此同時(shí)，Lie 理論與表示論正在數(shù)學(xué)內(nèi)部經(jīng)歷一場不同的革命。Galois 表示伴隨著 Emil Artin（1898-1962） 對(duì) L-函數(shù)的研究誕生了；Lie 群/ Lie 代數(shù)（無窮小版本的 Lie 群）的理論被嚴(yán)謹(jǐn)化，其表示被徹底研究，最終走向了 Langlands 綱領(lǐng)。Langlands 綱領(lǐng)想要建立 Galois 表示與自守表示的聯(lián)系，而自守表示又與某些具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的 Lie 群有關(guān)。這是另外一個(gè)宏偉的故事。但它對(duì) Lie 型群也有影響，在各種因素的影響下，代數(shù)群誕生了。
系數(shù)都有效的幾何理論，因?yàn)樗麄兘?jīng)常需要處理實(shí)數(shù)/復(fù)數(shù)以外的系數(shù)。這套代數(shù)幾何理論（概形理論）最終在20世紀(jì)60年代被 Alexander Grothendieck（1928-2014）找到，而他的學(xué)生 Michel Demazure（1937-）則建立了現(xiàn)代意義上的代數(shù)群理論。對(duì)于所有經(jīng)典幾何概念，他們都找到了純代數(shù)的定義，進(jìn)而規(guī)避了系數(shù)的限制。如此，整個(gè) Lie 群/ Lie 代數(shù)的理論都能被遷移到了代數(shù)群中，用來研究任意系數(shù)的幾何。1976年，Grothendieck 的學(xué)生 Pierre Deligne
調(diào)）構(gòu)造 Lie 型群表示的方法，隨后的 1985 年 Lusztig 用這套方法找到了 Lie 型單群的所有表示。
這樣巨大的成功自然也影響了群論，研究這些 Lie 型群也成了 Sp?th 和 Cabanes 面臨的主要挑戰(zhàn)。為了證明群論中的結(jié)論，他們不得不大量應(yīng)用像代數(shù)幾何這樣來自其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域的工具。
證明
McKay 猜想的最終證明分散在十幾篇論文中，Sp?th 和 Cabanes 完成了其中的一半，他們2024年的論文填上了最后的一塊拼圖。幾位數(shù)學(xué)家必須對(duì)所有種類的有限單群進(jìn)行驗(yàn)證，而 Lie 型單群內(nèi)部也分為數(shù)個(gè)種類。到2018年為止，只剩下最后一種 Lie 型單群需要考慮了。越到后面，證明的難度越大，這也是為什么最后一種情況花費(fèi)了整整六年時(shí)間。像 Deligne-Lusztig 這樣的代數(shù)幾何理論通常是高度抽象的，但是 McKay 猜想提出的問題卻是非常具體的數(shù)量關(guān)系，這要求數(shù)學(xué)家們?nèi)ふ覂蓚€(gè)群的特征標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)，對(duì)于很多高度復(fù)雜的群而言，技術(shù)難度是前所未有的。除了代數(shù)群理論外，證明還涉及諸如 Clifford 理論、塊理論等工具。
McKay 猜想并不是“局部-整體”對(duì)應(yīng)的全部，Lie 型群也還存在著諸多未知?；蛟S這些對(duì)應(yīng)的背后還有更加深刻的結(jié)構(gòu)，而現(xiàn)在擺在數(shù)學(xué)家面前的仍然只有這十幾篇高度技巧性的論文。在有限單群分類定理得到證明之后，大多數(shù)數(shù)學(xué)家都表達(dá)了自己的不滿，他們覺得合格的理論應(yīng)該用更高的觀點(diǎn)來解釋特例，比如 Michael Atiyah（1929-2019）就認(rèn)為有限單群的背后應(yīng)該有某種帶有群作用的幾何理論；但也有數(shù)學(xué)家認(rèn)為證明無法進(jìn)一步簡化，因?yàn)橛邢迒稳褐械?Lie 型群和零散群本身就已經(jīng)很復(fù)雜了。McKay 猜想的證明并沒有那么復(fù)雜，相反 Sp?th 和 Cabanes 的證明還為代數(shù)群理論帶來了一些新的血液，但同樣由于 Lie 型單群本身的復(fù)雜性，證明不可避免地依賴復(fù)雜的技巧。
不過這些問題并沒有困擾兩位數(shù)學(xué)家，完成夢想或許是人生最幸福的事，但在 Sp?th 看來，McKay 猜想并不僅僅是一項(xiàng)挑戰(zhàn)，更是她生活的目標(biāo)、勇氣，以及心中的悸動(dòng)。如今她戰(zhàn)勝了一切困難贏得了挑戰(zhàn)，同時(shí)也失去了原本的目標(biāo)。所以她和 Cabanes 開始了新的數(shù)學(xué)旅程，去尋找新的熱情和勇氣。祝愿他們能像 Frobenius 一樣，在后半生找到“活力的源泉”。
Britta Sp?th（左）與愛人 Marc Cabanes
參考文獻(xiàn)
[1] Etingof, Pavel, et al. "Introduction to representation theory." arXiv preprint arXiv:0901.0827 (2009).
[2] Cabanes, Marc, and Britta Sp?th. "The McKay Conjecture on character degrees." arXiv preprint arXiv:2410.20392 (2024).
[3] Sloman, Leila. "After 20 Years, Math Couple Solves Major Group Theory Problem". Quanta Magazine.
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